Relative warps a partir de coordenadas Procrustes y/o de las variables de deformacion

El calculo de los Relative Warps (RWs) comunmente se deriva a partir de la covarianza en los Principal Warps y Partial Warps como variables de la deformación. Pero tambien los RWs se pueden estimar a partir de las coordenadas Procrustes ajustadas. 

La primera via es la mas usada pues es la unica solucion disponible en programas como tpsRelW, PCAGen, MorphoJ, etc. En estos programas la matriz de entrada son las coordneadas Procrustes para primero calcular los Principal Warps, luego los Partial Warps y al final los Relative Warps. 

Desde esta perpsectiva los "relative warps" equivalen a los componentes principales del conjunto de todas las funciones de interpolacion de la deformacion (tps) estimadas entre alguna forma de referencia, comunmente la forma media, y cada una de las formas en la muestra.

Los Partial Warps son variables de la deformación. La placa delgada de deformacion (thin plate spline) es una funcion de interpolación suave de punto a punto.  Una interpolacion modela una superficie de vectores de las deformaciones minimas para la correspondencia entre puntos de la configuración explicada y la configuración de referenca. Los partial warps son los vectores de deformación espacialmente ordenados de todas las comparaciones pareadas desde la forma de referencia hacia cada otra forma en la muestra.

Las tipos de deformaciones pueden ser uniformes (affine)  y  no-uniformes (non-affine).
En PAST las deformaciones debido a los elementos uniformes (affine component) no se incluyen.

Dada la correspondencia entre los Partial warps y los Principal warps, tambien podemos visulaizar los relative warps como los componentes principales de los escores de los Principal Warps (Principal warp weight matrix).El factor de peso esta dado por el parametro alfa.

El parametro α altera el enfasis en alguna escala espacial. El uso del parametro alpha puede tomar tres valores para alterar la escala espacial de la varianza al calcular los RWs:

• alpha=-1 los RWs enfatizan la variacion espacialmente localizada (escala local).
• alpha=0 los RWs se calculan sin los elemntos uniformes (affine).
• alpha=1 los Rws enfatizan la variacion regionalizada (escala espacial amplia). 

El valor default de α en tpsRelW es 0.

La segunda via es calcular directamente los Realtive warps a partir de las Coordenadas Procustes. Esta solucion esta dospinible bajo el nombre de ProcrustesPCA (en Morpheus) o ShapePCA (en Past). Indirectamente uno podria calcular esta mmisma solucion en tpsRelW ajustando el valor α=0.

Esta historia desordenada continuará...... Comentarios y ayuda bienvenida.